Анотація до роботи:

Савчук М.В. Наближення голоморфних функцій багатьох змінних в полікрузі та в одиничній кулі в $\mb C^m$. --- Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико--математичних наук за спеціальністю 01.01.01-- математичний аналіз. --- Інститут математики НАН України, Київ, 2003.

Дисертацію присвячено дослідженню наближення голоморфних функцій багатьох змінних частинними сумами кратних рядів Тейлора і знаходженню співвідношення між повним та частинними найкращими многочленними наближеннями голоморфних функцій багатьох змінних.

Виведено залежність між величинами норм мультиплікаторів m--кратних (m=2,3,...) рядів Тейлора, згрупованих в ряди по однорідних многочленах і величинами норм таких самих мультиплікаторів однократних рядів Тейлора голоморфних функцій

відповідно m і однієї змінної. А саме, доведено, що норми таких мультиплікаторів не залежать від числа m.

Знайдено оцінки похибок наближення функцій з класів --інтегралів голоморфних функцій багатьох змінних прямокутними і трикутними сумами кратних рядів Тейлора.

В дисертаційному дослідженні отримано наступне.

1. Виведено залежність між величинами норм мультиплікаторів m--кратних (m=2,3,…) рядів Тейлора, згрупованих в ряди по однорідних многочленах, і величинами норм таких самих мультиплікаторів однократних рядів Тейлора голоморфних функцій відповідно m і однієї змінної. А саме доведено, що норми таких

мультиплікаторів не залежать від числа m.

Наведено застосування цього факту в дослідженнях найкращих наближень голоморфних функцій в полікрузі та в одиничній кулі в . А саме, знайдено співвідношення між величинами повного та частинних (по групі змінних) найкращих многочленних наближень голоморфних функцій багатьох змінних. Знайдено точні значення

величин найкращого та найкращого лінійного наближень класів радіальних --інтегралів голоморфних функцій ''трикутними'' многочленами.

2. Знайдено оцінки похибок наближення функцій з класів --інтегралів голоморфних функцій багатьох змінних прямокутними і трикутними сумами кратних рядів Тейлора. Такі оцінки виражено в термінах послідовностей , що визначають функціональний клас, та величин повних і частинних найкращих многочленних наближень. У важливих частинних випадках розв'язано задачу Колмогорова --- Нікольського про знаходження асимптотичних рівностей для верхніх меж відхилень прямокутних частинних сум двократних рядів Тейлора обмежених голоморфних функцій двох змінних. Повністю розв'язано задачу Колмогорова -- Нікольського для трикутних сум m-кратних рядів Тейлора функцій, голоморфних в полікрузі та в одиничній кулі в .

Публікації автора:

1. Савчук В.В., Савчук М.В. Норми мультиплікаторів в просторах гармонічних функцій багатьох змінних // Праці ін—ту математики НАН України. --- 2003. --- 46. --- C. 219---228.

2. Савчук В.В., Савчук М.В. Норми мультиплікаторів і найкращі наближення голоморфних функцій багатьох змінних // Укр. Мат. Журн. --- 2002. --- 54, №12. --- С.1669 --- 1679.

3.Савчук М.В. Про співвідношення між повним і частковими найкращими наближеннями обмежених голоморфних функцій багатьох змінних // Теорія наближення функцій та суміжні питання // Праці ін--ту математики НАН України. --- 2002. --- 35. --- C. 164 --- 171.

4. Савчук М.В. Нерівність Лебега --- Ландау для функцій, голоморфних в полікрузі $D^N,~N\ge 1$ // Теорія наближення функцій та її застосування // Праці ін--ту математики НАН України. --- 2000. --- 31. --- C.407 --- 416.

5. Савчук М.В. Про співвідношення між повним і частковими найкращими наближеннями обмежених голоморфних функцій багатьох змінних // Теорія наближення та гармонічний аналіз: Тези доп. Укр. мат. конгресу. -- 2001. --- Київ : Ін-т математики НАН України,

2001. --- С. 54.

6. Savchuk M.V. Approximation of classes of functions analytic in bidisks // Abstracts. International conference dedicated to M.A.~Lavrentyev. --- Kiev. --- 2000. -- P.~53.