У дисертацiї доведена однозначна розв'язнiсть систем граничних рiвнянь, якi виникають при розв'язуваннi методами теорiї потенцiалiв основних типiв задач iстотно нестацiонарної теорiї зв'язаної термопружностi. Оскiльки розв'язки для системи рiвнянь термопружностi розшукуються як в обмежених (внутрiшнiх), так i в необмежених (зовнiшнiх) областях, побудова математично коректної теорiї поверхневих запiзнюючихся потенцiалiв стає особливо актуальною, тому що дозволяє визначати невiдомi величини на границi без обчислень в усiй областi i, таким чином, приводить до одноманiтного розгляду внутрiшнiх та зовнiшнiх задач. Незважаючи на те, що схема методу граничних рiвнянь носить загальний характер i, по сутi, може бути застосована до будь-яких лiнiйних диференцiальних рiвнянь, фундаментальнi розв'язки яких вiдомi, донедавна в бiльшостi випадкiв цей метод використовувався для аналiзу стацiонарних та квазiстацiонарних явищ. На теперiшнiй час побудову теорiї граничних iнтегральних рiвнянь для загальних елiптичних крайових задач та параболiчних початково-крайових задач можна вважати практично завершеною. Методи теорiї потенцiалiв знаходять широке застосування при розв'язаннi крайових задач для рiвнянь теорiї пружностi та термопружностi у випадку, коли поля залежать вiд часу гармонiчно. Однак, вони не можуть бути безпосередньо застосованi в гiперболiчних (iстотно нестацiонарних), а також змiшаних, гiперболiчно-параболiчних задачах, тому що подання розв'язкiв цих задач поверхневими потенцiалами приводять до псевдодиференцiальних рiвнянь iз запiзнiлим за часом аргументом. У цьому випадку вiдповiднi граничнi оператори перестають бути нормально розв'язними i, як наслiдок, зникає можливiсть використання такої потужної зброї як альтернатива Фредгольма. Запропонований в дисертацiї пiдхiд до розв'язування задач динамiки термопружних середовищ заснований на поданні розв'язкiв вiдповiдних змiшаних задач динамiчними аналогами термопружних потенцiалiв простого та подвiйного шарiв, а також на переходi до перетворень Лапласа за часом у вихiдних задачах та вiдповiдних системах граничних рiвнянь. Це дає можливiсть при дослiдженнi отриманих таким чином крайових задач скористатися вiдомими результатами про розв'язнiсть крайових задач елiптичного типу з параметром i, пiсля вивчення вiдповiдних операторiв типу Пуанкаре-Стєклова та повернення у простори оригiналiв, довести однозначну розв'язнiсть вихiдних систем граничних рiвнянь в однопараметричних шкалах просторiв соболєвського типу. В дисертацiї одержані такi результати: Доведена однозначна розв'язнiсть чотирьох типiв систем граничних рiвнянь, що виникають при поданні розв'язкiв двох основних задач динамiки термопружних середовищ термопружними потенцiалами простого та подвiйного шарiв. Показано, що поверхневi потенцiали з густинами, якi є розв'язками вказаних систем граничних рiвнянь, задовольняють вiдповiдні змiшані задачи для систем рiвнянь теорiї термопружностi з крайовими умовами першого або другого роду. Доведенi теореми про однозначну розв'язнiсть в однопараметричних шкалах просторiв соболєвського типу систем парних граничних рiвнянь, якi виникають внаслiдок подання поверхневими запiзнюючимися потенцiалами розв'язкiв задач динамiки термопружних середовищ зi змiшаними крайовими умовами. Показано, що поверхневi потенцiали з густинами, що є розв'язками цих систем парних граничних рiвнянь, задовольняють вiдповiдні змiшані задачи термопружностi. Доведена однозначна розв'язнiсть систем граничних рiвнянь в задачах нестацiонарної дифракцiї термопружних хвиль на вiдокремленому розрiзi, якi отриманi шляхом подання розв'язку вiдповiдної початково-крайової задачi сумою термопружних потенцiалiв простого та подвiйного шарiв. Показано, що сума вказаних потенцiалiв iз знайденими густинами задовольняє змiшану задачу динамiки термопружних середовищ, що мiстять розрiзи. Доведенi теореми про однозначну розв'язнiсть систем нестацiонарних граничних рiвнянь, якi виникають в контактнiй задачi динамiки термопружних середовищ при поданні розв'язкiв цiєї задачi рiзними комбiнацiями термопружних потенцiалiв простого та подвiйного шарiв.Показано, що такi комбiнацiї потенцiалiв з густинами, що є розв'язками вiдповiдних систем псевдодиференцiальних граничних рiвнянь, задовольняють змiшану задачу для системи рiвнянь термопружностi з контактними крайовими умовами.
Дисертацiя носить теоретичний характер, але одержані в нiй результати можуть служити основою для побудови збiжних методiв наближеного розв'язування систем нестацiонарних граничних рiвнянь, а значить, i вихiдних задач. |
