Диссертации и авторефераты Украины
Перейти на каталог
Каталог диссертаций

Я ищу:
Диссертация / Автореферат

Диссертационная работа:

Рябічев В'ячеслав Львович. Точність наближених методів розв'язування абстрактної задачі Коші : Дис... канд. фіз.-мат. наук: 01.01.07 / НАН України; Інститут математики. — К., 2006. — 158арк. — Бібліогр.: арк. 151-157.

Скачать диссертацию *

* Ссылка размещена на правах рекламы



Аннотация к работе:

Рябічев В. Л. Точність наближених методів розв’язування абстрактної задачі Коші. –– Рукопис.

Дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук зі спеціальності 01.01.07 – обчислювальна математика. –– Інститут математики НАН України, Київ – 2006.

В дисертації досліджено точність методів без насичення точності для дискретизації абстрактної задачі Коші. У випадку скінченної гладкості початкового вектора для рівнянь 1-го і 2-го порядків у гільбертовім просторі із самоспряженим додатно визначеним сталим оператором одержано нові інтегральні оцінки швидкості збіжності методу перетворення Келі і доведено їх майже (з точністю до логарифма) непокращуваність за порядком. Показано, що при аналітичному початковому векторі метод перетворення Келі є експоненціально збіжним, а оцінка його точності –– непокращуваною за порядком. У дисертації також побудовано паралельний алгоритм розв’язування задачі Коші для лінійного диференціального рівняння першого порядку зі змінним оператором із сталою областю визначення. Знайдено апріорні оцінки точності методу, якщо оператор сильно позитивний у банаховім або самоспряжений додатно визначений у гільбертовім просторах. Досліджено стійкість розв’язків та виконано числову реалізацію алгоритму.

В дисертації досліджено відомі та побудовано нові ефективні алгоритми розв’язування задачі Коші для операторно-диференціальних рівнянь першого й другого порядків у гільбертовім і банаховім просторах.

1. У випадку скінченної гладкості початкового вектора задачі Коші для рівняння першого порядку в гільбертовім просторі із самоспряженим додатно визначеним щільно заданим оператором одержано нову інтегральну оцінку швидкості збіжності методу перетворення Келі та доведено її майже (з точністю до логарифма) непокращуваність за порядком , де –– кількість доданків часткової суми ряду, що зображує точний розв’язок задачі Коші.

2. Для цієї ж задачі при початковому векторі з простору Рум’є доведено експоненціальну швидкість збіжності методу перетворення Келі, а для оцінки його точності показано непокращуваність за порядком .

3. При початковому векторі скінченної гладкості, а також у випадку його аналітичності одержано нові інтегральні оцінки з ваговою функцією, які враховують початковий ефект у тій самій задачі.

4. Доведено нову поліноміальну оцінку швидкості збіжності методу перетворення Келі для наближення операторного косинуса в гільбертовім просторі при та встановлено її майже (з точністю до логарифма) непокращуваність за порядком .

5. Для цієї ж задачі одержано нову оцінку експоненціальної швидкості збіжності методу перетворення Келі та показано її непокращуваність за порядком, якщо початковий вектор є елементом простору Рум’є .

6. Запропоновано новий метод дискретизації задачі Коші для лінійного неоднорідного диференціального рівняння першого порядку в банаховім просторі (гільбертовім просторі ) із сильно позитивним (самоспряженим додатно визначеним) при кожному необмеженим операторним коефіцієнтом , який має щільну в () і не залежну від область визначення . Одержано апріорні оцінки похибки методу. Примітно, що новий алгоритм має довільний порядок точності та дозволяє розпаралелювати обчислення.

7. Встановлено і доведено достатні умови сильної стійкості розв’язків задачі Коші для еволюційного рівняння (на відміну від відомих результатів, наприклад, Самарського О. А., Вабіщевича П. М., Матуса П. П., в дисертації не вимагається, щоб вихідний оператор і його збурення комутували). На підставі доведених тверджень про сильну стійкість розроблено реалізацію методу за умови поліноміальних наближень оператора і правої частини рівняння.

Становлять також самостійний інтерес доведені в дисертаційній роботі допоміжні твердження, як-от: операторний аналог теореми про лишки, точні формули для інтегралів від операторних функцій тощо. Засобами пакету Maple проведено числові розрахунки, які підтверджують непокращуваність одержаних апріорних оцінок швидкості збіжності методу.

Достовірність одержаних результатів ґрунтується на строгості доведень усіх тверджень, а їхня вірогідність –– на несуперечності з відомими результатами, перевірці правильності теоретичних положень на тестових прикладах, а також на повноті викладу в публікаціях і належному рівні апробації.

Список опубликованных работ по теме диссертации:

1. Макаров В. Л., Василик В. Б., Рябичев В. Л. Неулучшаемые по порядку оценки скорости сходимости метода преобразования Кэли для приближения операторной экспоненты // Кибернетика и системный анализ. — 2002. — № 4. — С. 180–185.

2. Макаров В. Л., Майко Н. В., Рябічев В. Л. Точність наближення операторної експоненти // Вісник Київського університету. — 2002. — № 4. — С. 192–197.

3. Макаров В. Л., Рябічев В. Л. Непокращувані оцінки точності методу перетворення Келі для знаходження операторного косинуса // Доповіді НАН України. — 2002. — № 12. — С. 21–25.

4. Gavrilyuk I. P., Makarov V. L., Ryabichev V. L. A parallel high-accuracy method for the first-order evolution equation in Hilbert and Banach spaces // Computational Methods in Applied Math. — 2003. –– Vol. 3. — № 1. — P. 86–116.

5. Макаров В. Л., Майко Н. В., Рябічев В. Л. Непокращувані оцінки точності методу перетворення Келі для знаходження операторної експоненти // Теорія еволюційних рівнянь. Міжнародна конференція “П’яті Боголюбовські читання” (м. Кам’янець-Подільський, 22–24 травня 2002 р.): Тези доповідей. –– 2002. –– С. 110.

6. Макаров В. Л., Майко Н. В., Рябічев В. Л. Непокращувані оцінки точності методу перетворення Келі для знаходження операторного косинуса // Теорія еволюційних рівнянь. Міжнародна конференція. “П’яті Боголюбовські читання” (м. Кам’янець-Подільський, 22–24 травня 2002 р.): Тези доповідей. –– 2002. –– С. 111.

7. Макаров В. Л., Майко Н. В., Рябічев В. Л. Паралельний метод високого порядку точності для еволюційного рівняння першого порядку // Сучасні проблеми прикладної математики та інформатики. X Всеукраїнська наукова конференція (м. Львів, 23–25 вересня 2003 р.): Тези доповідей. –– 2003. –– С. 90.


Меню
Реклама



2006-2009 © Диссертации и авторефераты Украины