Диссертации и авторефераты Украины
Перейти на каталог
Каталог диссертаций

Я ищу:
Диссертация / Автореферат

Диссертационная работа:

Солодкий Сергій Григорович. Оптимальні схеми дискретизації операторних рівнянь: дисертація д-ра фіз.-мат. наук: 01.01.07 / НАН України; Інститут математики. - К., 2003.

Скачать диссертацию *

* Ссылка размещена на правах рекламы



Аннотация к работе:

Солодкий С.Г. Оптимальнi схеми дискретизацiї операторних рiв-нянь. – Рукопис.

Дисертацiя на здобуття наукового ступеня доктора фiзико-математичних

наук за спецiальностю 01.01.07. - обчислювальна математика. -- Iнститут математики НАН України, Київ, 2003

Дисертацiя присвячена дослiдженню складностi операторних рiвнянь I i II

роду, що є узагальненням iнтегральних рiвнянь Фредгольма i Вольтерра. Голов-на увага придiляється розвитку проекцiйних схем дискретизацiї, що викорис-товують iдею гiперболiчного хреста. За допомогою цих схем для широких класiв операторних рiвнянь обчисленi точнi порядки iнформацiйної i алгоріт-мичної складностi. Для некоректних задач (рiвнянь I роду з компактними операторами) побудованi оптимальнi наближенi методи як у випадку апрiор-ного, так i апостерiорного вибору параметра регуляризацiї. На прикладi рiвнянь з операторами соболєвського типу гладкостi демонструється перевага адаптив-ної стратегiї дискретизацiї у порiвняннi зi стандартними методами.

  1. Розвинуто iдею гiперболiчного хреста. Це дозволило розробити новi проек-цiйнi схеми дискретизацiї для ефективного розв'язання операторних рiвнянь I i II роду.

  1. На основi отриманих схем побудованi проекцiйно-iтеративнi методи, що

    гарантують найкращу за порядком точнiсть розв'язання на широких класах

    рiвнянь Фредгольма II роду з коефiцiєнтами скiнченної гладкостi.

    1. Знайдено точний у степеневiй шкалi порядок алгоритмiчної складностi

      наближеного розв'язання рiвнянь Вольтерра другого роду з нескiнченно

      диференцiйовними ядрами.

      1. Визначено точнi порядки iнформацiйної i алгоритмiчної складностi опера-

        торних рiвнянь, що є узагальненням iнтегральних рiвнянь Фредгольма пер-

        шого роду з коефiцiєнтами скiнченної гладкостi. У випадку апрiорного

        вибору параметра регуляризацiї побудованi оптимальнi в сенсi складностi

        проекцiйнi методи розв'язання некоректних задач, що використовують новi

        схеми дискретизацiї.

        5. Знайдено порядки iнформацiйної складностi проекцiйних методiв на класах

        рiвнянь I роду у випадку, коли параметр регуляризацiї обирається апосте-

        рiорi.

        6. Встановлено, що використання симетричних схем при дискретизацiї рiвнянь

        із самоспряжними невiд'ємними операторами призводить до iстотного збiль-

        шення обсягу задiяної дискретної iнформацiї.

        7. Побудовано алгоритми розв'язання некоректних задач, що являють собою

        комбiнацiю запропонованого адаптивного пiдходу до дискретизацiї, принци-

        пу нев'язки i деяких методiв регуляризацiї (iтерованого методу Тихонова i

        методу Ландвебера). Встановлено, що цi алгоритми є бiльш економiчними у

        сенсi використаної дискретної iнформацiї, нiж стандартнi методи.

        Результати дисертацiї, що викладенi в роздiлах III i IV, є першими в галузi складностi некоректних задач. Iдеї i методи, що розвиненi в дисертацiї, були використанi в багатьох iнших роботах (див., наприклад, посилання [125,135] дисертацiї). Все це дозволяє зробити висновок, що дисертацiя є новим важливим кроком у розвитку теорiї оптимальних алгоритмiв, а її езультати мають численнi зв'язки з iншими результатами в цiй галузi i можуть бути вико-

        ристанi у вiдповiдних дослiдженнях.

        Автор зберiгає глибоку вдячнiсть своєму вчителю академiку НАН України Корнєйчуку Миколi Павловичу, а також висловлює щиру подяку професору Переверзєву Сергiю В'ячеславовичу за їхнi критичнi зауваження i кориснi поради пiд час роботи над дисертацiєю.

        Основні положення дисертації опубліковані в наступних роботах:

        1. Солодкий С.Г.

        Оптимизация алгоритмов приближенного решения

        уравнений Вольтерра с бесконечно дифференцируемыми ядрами //

        Укр.мат.журн.- 1994. - 46, N 11. - С.1534--1545.

        2. Солодкий С.Г.

        Сложность уравнений Фредгольма II рода с ядрами из анизотропных классов

        дифференцируемых функций //Укр.мат. журн. - 1996. - 48, N 4. - С.525--532.

        3. Солодкий С.Г.

        Сложность проекционных методов решения некорректных задач //

        Укр.мат.журн. - 1996. - 48, N 8. - С.1114--1124.

        4. Pereverzev S.V., Solodky S.G.

        The Minimal Radius of Galerkin Information for the Fredholm Problem of

        the First Kind// Journal of Complexity. -- 1996. -- 12. -- P.176--202.

        5. Pereverzev S.V., Solodky S.G.

        An efficient Discretization for Solving Ill-Posed Problems//

        Lectures in Applied Mathematics. -- 1996. -- 32. -- P.643--649.

        6. Солодкий С.Г.

        О дискретизации некорректных задач // Журн. вычисл. математики

        и мат.физики. - 1996. - 36, N 8. - С.15--22.

        7. Солодкий С.Г.

        Экономичный подход к дискретизации метода М.М.Лаврентьева //

        Сиб.мат.журн. - 1997. - 38, N 2. - С.396--404.

        8. Солодкий С.Г.

        Об информационной сложности некоторых классов операторных уравнений//

        Укр.мат.журн. - 1997. - 49, N 9. - С.1271--1277.

        9. Солодкий С.Г.

        Об одном подходе к дискретизации некорректных задач //

        Докл. РАН. - 1997. - 356, N 5. - С.608--611.

        10.Солодкий С.Г.

        Об одной схеме дискретизации уравнений Фредгольма I рода //

        Дифференц.уравнения. - 1997. - 33, N 11. - С.1547--1551.

        11.Солодкий С.Г.

        Информационная сложность проекционных алгоритмов решения уравнений

        Фредгольма I рода. I// Укр.мат.журн. - 1998. - 50, N 5. - С.699--711.

        12.Солодкий С.Г.

        Информационная сложность проекционных алгоритмов решения уравнений

        Фредгольма I рода. II// Укр.мат.журн. - 1998. - 50, N 6. - С.838--844.

        13.Солодкий С.Г.

        О модификации проекционной схемы решения некорректных задач //

        Изв. вузов. Математика. - 1998. - N 11. - С.83--90.

        14.Солодкий С.Г.

        Оптимизация проекционных методов решения линейных некорректных

        задач// Журн.вычисл.математики и мат. физики.

        - 1999. - 39, N 2. - С.195--203.

        15.Солодкий С.Г.

        Оптимизация проекционных схем дискретизации некорректных задач//

        Укр.мат.журн. - 1999. - 51, N 10. - С.1398--1410.

        16.Solodky S.G.

        Complexity for some classes of well-posed problems //

        Proc. Estonian Sci. Phys. Math. -- 1999. -- 48, N 2. -- P.123--132.

        17.Solodky S.G.

        A generalized projection scheme for solving ill-posed problems //

        Journal of Inverse and Ill-Posed Problems. -- 1999. -- 7, N 2. -- P.185--200.

        18.Переверзев С.В., Солодкий С.Г.

        Оптимальная дискретизация некорректных задач //

        Укр.мат.журн. - 2000. - 52, N 1. - С.106--121.

        19.Maass P., Pereverzev S.V., Ramlau R., Solodky S.G.

        An adaptive discretization for Tikhonov-Phillips regularization with a posteriori

        parameter selection // Numer. Math. -- 2001. -- 87. -- P.485--502.

        20.Solodky S.G.

        The Optimal Approximations for Solving Linear Ill-Posed Problems//

        Journal of Complexity. -- 2001. -- 17, N 1. -- P.98--116.

        21.Солодкий С.Г.

        Адаптивная дискретизация некорректных задач // Докл. РАН.

        - 2002. - 382, N 4. - С.460--462.

        22.Solodky S.G.

        Information Complexity of Some Classes of Ill-Posed Problems//

        Abstracts of the International Seminar on

        Algorithms and Complexity for Continuous Problems. --

        Dagstuhl (Germany), 1996. -- P.17.

        23.Солодкий С.Г.

        Проекцiйна схема дискретизацiї некоректних задач//

        Тези доповiдей II-й школи Ряди Фур'є: теорiя i застосування. --

        Київ (Україна), 1997. -- C. 117.

        24.Solodky S.G.

        Optimization of projection methods for solving ill-posed problems//

        Abstracts of the International Conference on

        Approximation methods and orthogonal expansions. --

        Tartu (Estonia), 1998. -- P.31.

        25.Solodky S.G.

        Optimization of projection methods for solving linear ill-posed problems //

        International Congress of Mathematicians.

        Abstracts of Short Communications. -- Berlin (Germany), 1998. -- P.314--315.

        26.Солодкий С.Г.

        Конечномерная модификация некоторых методов регуляризации//

        Шоста Кримська Мiжнародна математична школа МФЛ-2002. --

        Сiмферополь (Україна), 2002. -- C. 132.


Меню
Реклама



2006-2009 © Диссертации и авторефераты Украины